Question

10．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1，则sin（2α-β）+sin（α-2β）的取值范围为（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，1]
• B． [-1，$\sqrt{2}$]
• C． [-1，1]
• D． [1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 先利用正弦的两角和公式化简已知等式求得α=$\frac{π}{2}$+β，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简，根据β的范围求得cos（β+$\frac{π}{4}$）的范围，即可得解．

解答 解：∵sinαcosβ-sinβcosα=sin（α-β）=1，α、β∈[0，π]，
∴α-β=$\frac{π}{2}$，可得：α=$\frac{π}{2}$+β∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴$\frac{π}{2}$+β∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴β+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
又∵β+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴β+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴cos（β+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴sin（2α-β）+sin（α-2β）=sin（β+π）+sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ-sinβ=$\sqrt{2}$cos（β+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
故选：C．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，求出α和β互余的关系是解题的关键，属于中档题．