Question

18．设函数f（x）=x²+mln（x+1）．
（1）若m=-1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x³的大小；
（2）证明：对任意的正整数n，不等式e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…${e}^{（1-n）{n}^{2}}$＜$\frac{n（n+3）}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f（x）-x³，求导判断g（x）的单调性和最大值；
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1）（x＞0），变形为e（1-x）x2＜x+1，累加计算即可．

解答 解：（1）m=-1时，f（x）=x²-ln（x+1）．
令g（x）=f（x）-x³=x²-x³-ln（x+1）．
∴g′（x）=2x-3x²-$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{3{x}^{3}+（x-1）^{2}}{x+1}$．
∵x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∴g（x）＜g（0）=0．
∴f（x）-x³＜0，即f（x）＜x³．
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1），（x＞0）．
∴e${\;}^{{x}^{2}-{x}^{3}}$＜x+1．即e${\;}^{{x}^{2}（1-x）}$＜x+1．（x＞0）．
∴e${\;}^{{n}^{2}（1-n）}$＜n+1．（n∈N⁺）．
∴e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…${e}^{（1-n）{n}^{2}}$＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=（1+2+3…+n）+n
$\frac{（1+n）n}{2}+n$=$\frac{n（n+3）}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．