Question

8．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=0，a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先利用有关公式对函数的解析式进行化简整理，再由正弦函数的单调性和复合函数的单调性，求出函数的增区间，利用周期公式进行求解周期即可．
（2）利用三角形面积公式表示出S，把sinA的值代入，由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答 解：（1）f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
则函数的周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
要求函数的单调递增，即求函数y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的减区间，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈z），解得 $\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{8}$+kπ（k∈z），
则函数f（x）的单调递增区间为[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]（k∈z）．
（2）若f（$\frac{A}{2}$）=0，即f（$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）=0．
∵三角形是锐角三角形，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，则-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$，
∴A-$\frac{π}{4}$=0，即A=$\frac{π}{4}$，
则sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc，
∵a=2，cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由余弦定理得：2²=b²+c²-2bc×$\frac{\sqrt{2}}{2}$≥2bc-$\sqrt{2}$bc，
∴（2-$\sqrt{2}$）bc≤4，即bc≤2（2+$\sqrt{2}$），
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×2（2+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+1，
∴S_△ABC的面积的最大值为$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查三角函数的性质，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．