Question

1．已知球O的直径PQ=4，A、B、C是球O球面上的三点，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． 3
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 P在面ABC的投影O是△ABC的外心，且为球心，求出AB=2$\sqrt{3}$，AC=BC=$\sqrt{6}$，计算出锥体的体积即可．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是△ABC的外心，且为球心，
∵PQ是直径，
∴∠PCQ=90°．
∴PC=4cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴PO=2$\sqrt{3}$•cos30°=3．
OC=2$\sqrt{3}$sin30°=$\sqrt{3}$
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=BC=$\sqrt{6}$．
三棱锥P-ABC体积=$\frac{1}{3}$PO•S_△ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$×3=3．
故选：B．

点评 本题主要考查三棱锥的体积公式的计算，考查学生的运算能力，利用三棱锥和球的关系是解决本题的关键．