Question

15．抛物线C：x²=ay（a＞0）的焦点与双曲线E：x²-2y²=2的右焦点的连线交C于第一象限内的点M，若C在点M处的切线平行于E的一条渐近线，则实数a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=$\frac{1}{a}$x²在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与a的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得a的值．

解答 解：由抛物线C：x²=ay（a＞0），可得焦点坐标为F（0，$\frac{a}{4}$）．
由双曲线E：x²-2y²=2得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
所以双曲线的右焦点为（1，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为ax+4y-a=0①．
设该直线交抛物线于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{a}$），则C在点M处的切线的斜率为$\frac{2{x}_{0}}{a}$．
由题意可知$\frac{2{x}_{0}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得x₀=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，代入M点得M（$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{1}{8}$a）
把M点代入①得：a×$\frac{\sqrt{2}}{4}$a+4×$\frac{1}{8}$a-a=0．
解得a=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．