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    4．过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为4：5，类比此性质，猜想过正四面体（底面是正三角形，侧面是三个完全相同的等边三角形，顶点在底面的投影是底面正三角形的中心）的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为27：37．

    分析 平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1，从而得出过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比．

    解答 解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
    可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1
    故过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为27：（64-27）=27：37，
    故答案为：27：37．

    点评 主要考查知识点：类比推理，简单几何体和球，是基础题．

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