Question

13．已知函数f（x）满足f（x）=f（4x），当x∈[1，4），f（x）=lnx，若在区间[1，16）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• B． $（\frac{ln3}{9}，\frac{1}{3e}）$
• C． $（\frac{ln2}{8}，\frac{1}{4e}）$
• D． $（\frac{ln2}{16}，\frac{ln2}{2}）$

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，4）}\\{lnx-ln4，x∈[4，16）}\end{array}\right.$，从而作函数f（x）与y=ax的图象，从而利用数形结合求解即可．

解答 解：∵f（x）=f（4x），
∴f（x）=f（$\frac{x}{4}$），
当x∈[4，16）时，$\frac{x}{4}$∈[1，4）；
f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=ln$\frac{x}{4}$=lnx-ln4，
故函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，4）}\\{lnx-ln4，x∈[4，16）}\end{array}\right.$，
作函数f（x）与y=ax的图象如下，
，
过点（16，ln4）时，a=$\frac{ln4}{16}$=$\frac{ln2}{8}$，
y=lnx-ln4，y′=$\frac{1}{x}$；
故$\frac{lnx-ln4}{x}$=$\frac{1}{x}$，
故x=4e，
故a=$\frac{1}{4e}$，
故实数a的取值范围是$（\frac{ln2}{8}，\frac{1}{4e}）$，
故选：C．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．