Question

3．已知函数f（x）=lnx-ax在点A（2，f（2））处的切线l的斜率为$\frac{3}{2}$．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出切线的斜率，解方程可得a：
（2）求得切点的坐标，由点斜式方程可得切线的方程，令g（x）=f（x）-（$\frac{3}{2}$x+ln2-1），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得证．

解答 解：（1）因为f（x）的导数为$f'（x）=\frac{1}{x}-a$，
又因为函数f（x）在点A（2，f（2））处的切线斜率为$\frac{3}{2}$，
所以$f'（2）=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$-a=$\frac{3}{2}$，
所以a=-1；
（2）证明：因为f（x）=lnx+x，所以A（2，ln2+2），
所以l的方程为：$y=\frac{3}{2}x+ln2-1$，
令$g（x）=f（x）-[{\frac{3}{2}x+ln2-1}]=lnx-\frac{1}{2}x-ln2+1$，
则$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，又因为x＞0，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，
可得函数g（x）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，
当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=0，所以g（x）≤0，
所以$f（x）≤\frac{3}{2}x+ln2-1$，
即函数f（x）的图象恒在其切线l的下方（切点除外）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造法，求出导数，求得单调区间和最大值，考查运算能力，属于中档题．