Question

11．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，|PF₁|=λ|PF₂|（$\frac{1}{2}$≤λ≤2），∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，则椭圆离心率的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• C． [$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• D． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得e²=$\frac{{λ}^{2}+1}{（λ+1）^{2}}$，令m=λ+1，可得λ=m-1，即有$\frac{{λ}^{2}+1}{（λ+1）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2m+2}{{m}^{2}}$=2（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
可设|PF₂|=t，可得|PF₁|=λt，
即有（λ+1）t=2a①
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，可得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
即为（λ²+1）t²=4c²，②
由②÷①²，可得e²=$\frac{{λ}^{2}+1}{（λ+1）^{2}}$，
令m=λ+1，可得λ=m-1，
即有$\frac{{λ}^{2}+1}{（λ+1）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2m+2}{{m}^{2}}$=2（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
由$\frac{1}{2}$≤λ≤2，可得$\frac{3}{2}$≤m≤3，即$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{m}$≤$\frac{2}{3}$，
则m=2时，取得最小值$\frac{1}{2}$；m=$\frac{3}{2}$或3时，取得最大值$\frac{5}{9}$．
即有$\frac{1}{2}$≤e²≤$\frac{5}{9}$，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题．