Question

16．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（$θ±\frac{π}{2}$，|OQ|sin（$θ±\frac{π}{2}$），由P、Q在椭圆上，即可得出结论．

解答 解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（$θ±\frac{π}{2}$，|OQ|sin（$θ±\frac{π}{2}$），
由P、Q在椭圆上，得：
$\frac{1}{|OP{|}^{2}}=\frac{co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}θ}{{b}^{2}}$，①
$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{si{n}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{co{s}^{2}θ}{{b}^{2}}$，②
①+②，得$\frac{1}{|OP{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$，
∴当|OP|=|OQ|=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$时，乘积|OP|•|OQ|最小值为$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
故答案为：$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆中两线段乘积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．