Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l₁，l₂是椭圆的任意两条切线，且l₁∥l₂，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出$a=\sqrt{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n（m≠n），两直线分别与椭圆联立，得到m²=1+2k²，m=-n，由此利用点B到l₁，l₂的距离之积恒为1，能求出点B坐标，当l₁，l₂的斜率不存在时，点B（±1，0）到l₁，l₂的距离之积为1．由此能求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}-1}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$a=\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）①当l₁，l₂的斜率存在时，设l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n（m≠n）
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{1+2{k^2}}）{x^2}+4mkx+2{m^2}-2=0$，
△=0，m²=1+2k²，同理n²=1+2k²m²=n²，m=-n，
设存在$B（{t，0}），\frac{{|{kt+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}•\frac{{|{kt-m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1⇒|{{k^2}{t^2}-{m^2}}|=1+{k^2}$，
又m²=1+2k²，则|k²（2-t²）+1|=1+k²，k²（1-t²）=0或k²（t²-3）=2（不恒成立，舍去）
∴t²-1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l₁，l₂的斜率不存在时，${l_1}：x=-\sqrt{2}，{l_2}：x=\sqrt{2}$
点B（±1，0）到l₁，l₂的距离之积为1．
综上，存在B（1，0）或（-1，0）．…（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点到直线的距离公式的合理运用．