Question

4．已知点P（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上一点，点A，B是椭圆上两个动点，满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PO}$，则直线AB的斜率为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由向量知识求出${x}_{1}+{x}_{2}=-1，{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{3}{2}$，把A，B代入椭圆方程，利用点差法能求出直线AB的斜率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PO}$，点P（1，$\frac{3}{2}$），
∴$（{x}_{1}-1，{y}_{1}-\frac{3}{2}）+（{x}_{2}-1，{y}_{2}-\frac{3}{2}）$=3（-1，-$\frac{3}{2}$），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-1，{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{3}{2}$，
把A，B代入椭圆方程，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=12}\\{3{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=12}\end{array}\right.$，
两式相减，得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵x₁+x₂=-1，${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{3}{2}$，
∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．