Question

12．已知函数$f（x）=2cos（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的最小正周期为π，直线$x=-\frac{π}{24}$为它的图象的一条对称轴．
（1）当$x∈[{-\frac{5π}{24}，\frac{5π}{24}}]$时，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若$f（{-\frac{A}{2}}）=\sqrt{2}，a=3$，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．
（2）$f（{-\frac{A}{2}}）=\sqrt{2}，a=3$，求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．

解答 解：（1）∵函数的周期是π，
∴T=$\frac{2π}{ω}=π$，则ω=2，
则f（x）=2cos（2x+φ），
∵$x=-\frac{π}{24}$为它的图象的一条对称轴，
∴2×（-$\frac{π}{24}$）+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+$\frac{π}{12}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{12}$，
即f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{12}$），
若$x∈[{-\frac{5π}{24}，\frac{5π}{24}}]$时，2x∈[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
2x+$\frac{π}{12}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
即当2x+$\frac{π}{12}$=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，
当2x+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，
即函数的值域为[0，2]．
（2）若$f（{-\frac{A}{2}}）=\sqrt{2}，a=3$，
则2cos[2×$（-\frac{A}{2}）$+$\frac{π}{12}$]=2cos（-A+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$，
即cos（-A+$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
额cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴-$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，
即A-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
即A=$\frac{π}{3}$，
∵a=3，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=9，
即（b+c）²-3bc=9
即3bc=（b+c）²-9，
∵bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，（b+c）²-9≤3（$\frac{b+c}{2}$）²，
即4（b+c）²-36≤3（b+c）²，
则（b+c）²≤36，
即0＜b+c≤6，
即b+c的最大值是6．

点评 本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．