Question

17．设P是焦距为6的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一点，双曲线C的一条渐近线与圆（x-3）²+y²=5相切，若P到两焦点距离之和为8，则P到两焦点距离之积为（　　）

• A． 6
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由题意可知c=3，再根据双曲线C的一条渐近线与圆（x-3）²+y²=5相切，得到b=$\sqrt{5}$，a=2，再根据|PF₁|-|PF₂|=2a=4，|PF₁|+|PF₂|=8，即可求出答案．

解答 解：∵2c=6，
∴c=3，
又（c，0）到直线y=±$\frac{b}{a}$x的距离为b，而双曲线C的一条渐近线与圆（x-3）²+y²=5相切，
∴b=$\sqrt{5}$，a=2，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
∵|PF₁|+|PF₂|=8
∴|PF₁|=6，|PF₂|=2，
∴|PF₁|•|PF₂|=12，
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的定义和性质以及直线和圆的位置关系，属于基础题．