Question

6．在平面直角坐标系中xOy，点P到两点（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C
（1）写出C的方程
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时以AB为直径的圆过坐标原点．

Answer 1

分析 （1）P（x，y）根据椭圆的定义可推断点P的轨迹C是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）为焦点，长半轴为2的椭圆，进而可求得短半轴b，椭圆方程可得．
（2）设直线l₁：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程和椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据以线段AB为直径的圆过坐标原点，推断出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k．

解答 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b=$\sqrt{4-3}$=1，
故曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设直线l₁：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，消去y并整理得（k²+4）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
故x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$．
以线段AB为直径的圆过坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
于是x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$-$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，
化简得-4k²+11=0，所以k²=$\frac{11}{4}$．
∴k=$±\frac{\sqrt{11}}{2}$时，以AB为直径的圆过坐标原点．

点评 本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力，是中档题．