Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）求V_B-EFD．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理证明线面平行．
（2）利用锥体的体积公式求体积．

解答 解：（1）连结AC，交BD于O，连结EO，
因为ABCD是正方形，点O是AC的中点，在三角形PAF中，EO是中位线，
所以PA∥EO，而EO?面EDB，且PA?面EDB，所以PA∥平面EDB；
（2）因为PD=DC=2，所以PC=2$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{3}$，PE=$\sqrt{2}$，
因为$\frac{EF}{PE}=\frac{BC}{PB}$，所以EF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，FB=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
DF=$\sqrt{B{D}^{2}-P{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，DE=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以V_B-EFD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×DE×EF×BF=$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定，考查锥体的体积公式，要求熟练掌握相应的判定定理．