Question

16．如图在长方形ABCD中，$AB=2\sqrt{2}$，AD=2，O为AB的中点，若P是线段DO上动点，则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PD}$的最小值是-3．

Answer 1

分析 （$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PD}$=-2|PO|×|PD|，利用基本不等式求出|PD|×|PO|的最大值即可得出答案．

解答 解：∵O为AB的中点，∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PD}$=-2|PO|×|PD|，
∵|PO|+|PD|=|OD|=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴|PD|×|PO|≤（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=$\frac{3}{2}$．
∴-2|PO|×|PD|≥-3．
故答案为-3．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于基础题．