Question

5．求f（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$，x∈[0，4]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-（x-1）•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（{x}^{2}-2x-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
由f′（x）=0得，x²-2x-1=0，即x=$\frac{2+2\sqrt{2}}{2}$=1+$\sqrt{2}$，或x=1-$\sqrt{2}$，
又x∈[0，4]，当x∈[0，1+$\sqrt{2}$）时，f′（x）＞0，
当x∈（1+$\sqrt{2}$，4]时，f′（x）＜0，
即当x=1+$\sqrt{2}$时，函数取得极大值同时也是最大值f（1+$\sqrt{2}$）=$\frac{1+\sqrt{2}-1}{（1+\sqrt{2}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
∵f（0）=-1，f（4）=$\frac{4-1}{16+1}$=$\frac{3}{17}$，
∴f（0）＜f（4），
即函数的最小值为-1，
故函数的最小值是-1，最大值是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．