Question

10．经过定点（1，3）作直线l与抛物线y=x²相交于A、B两点．求证：抛物线在A，B两点的切线交点M在一定直线上．

Answer 1

分析 设出A，B，则可表示AB的方程，把点（1，3）代入，同时对曲线C的方程求导，判断出A，B处的切线方程，最后联立方程求得结论．

解答 证明：设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），（x₁≠x₂）
则直线AB的方程为：y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁），
∵点（1，3）在AB上，
∴3-x₁²=（x₁+x₂）（1-x₁），即x₁+x₂-x₁x₂=3①
对y=x²求导得：y′=2x
∴抛物线上A，B处的切线方程为
y-x₁²=2x₁（x-x₁）即y=2x₁x-x₁²②
y-x₂²=2x₂（x-x₂）即y=2x₂x-x₂²③
联立②③得x₁+x₂=2x，x₁x₂=y
代入①得：2x-y-3=0，
故抛物线在A，B两点的切线交点M在一定直线2x-y-3=0上．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．