Question

15．记关于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$的解集为P，不等式|x-1|＜1的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=3，关于x的不等式即 $\frac{x-3}{x+1}$＜0，即 （x-3）（x+1）＜0，由此求得原不等式的解集．
（2）先解绝对值求出Q，再解分式不等式求得P，结合Q⊆P，求得正数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=3，关于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$，即 $\frac{x-3}{x+1}$＜0，即 （x-3）（x+1）＜0，
求得-1＜x＜3，可得原不等式的解集为P=（-1，3）．
（2）由不等式|x-1|＜1，可得-1＜x-1＜1，即 0＜x＜2，故原不等式的解集为Q=（0，2）．
由a＞0，关于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$，即（x-a）（x+1）＜0，求得它的解集为P=（-1，a），
再根据Q⊆P，可得2≤a，故a的范围为{a|a≥2}．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．