Question

5．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AA₁=4，则该三棱柱的外接球的体积为$\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AA₁=4，底面ABC的小圆半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的体积．

解答 解：由题意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AA₁=4，底面小圆ABC的半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱柱的外接球的体积为$\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$
故答案为：$\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$．

点评 本题是中档题，考查直三棱柱的外接球的体积的求法，解题的关键是外接球的半径，直三棱柱的底面中心的连线的中点与顶点的连线是半径，考查空间想象能力．