Question

2．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为$y=x-\frac{p}{2}$，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为$（p，\frac{3p}{2}）$，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y-2=-x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．

解答 解：$F（\frac{p}{2}，0）$，过焦点F且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线方程为：$y=x-\frac{p}{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得，y²-2py-p²=0；
∴y₁+y₂=2p，x₁+x₂=3p；
∴弦AB的中点坐标为$（\frac{3p}{2}，p）$；
弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x，弦AB的中点在该直线上；
∴$p-2=-\frac{3p}{2}$；
解得$p=\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及根据直线的倾斜角求斜率，直线的点斜式方程，韦达定理．