Question

12．已知α+β=$\frac{π}{12}$，求$\frac{1-tanα-tanβ-tanα•tanβ}{1+tanα+tanβ-tanα•tanβ}$．

Answer 1

分析 由α+β=$\frac{π}{12}$，结合两角和的正切可得1-tanαtanβ=$（2-\sqrt{3}）（tanα+tanβ）$，代入$\frac{1-tanα-tanβ-tanα•tanβ}{1+tanα+tanβ-tanα•tanβ}$后整理得答案．

解答 解：由α+β=$\frac{π}{12}$，得
$tan（α+β）=tan（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）=\frac{tan\frac{π}{3}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{π}{3}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$，
即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$，
∴1-tanαtanβ=$（2-\sqrt{3}）（tanα+tanβ）$，
∴$\frac{1-tanα-tanβ-tanα•tanβ}{1+tanα+tanβ-tanα•tanβ}$=$\frac{（2-\sqrt{3}）（tanα+tanβ）-（tanα+tanβ）}{（2-\sqrt{3}）（tanα+tanβ）+（tanα+tanβ）}$
=$\frac{1-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{（1-\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}{（3+\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}=\frac{6-4\sqrt{3}}{6}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，考查了计算能力，是中档题．