Question

8．已知函数f（x）=$\frac{ln（x+a）+b}{{e}^{x}}$（其中e=2.71828…是自然对数的底数），且f′（1）=$\frac{1-b}{e}$．
（1）求a的值，并判断当b≥1时，f′（x）=0在x∈（0，1]上是否有解；
（2）当b=1时，证明：对任意x＞0，（x+1）•f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{x}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）求导，进行求解．分离常数，将问题转化为求函数的值域问题．
（2）作差构造函数，将不等式恒成立进行等价转化，利用导数求其最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{ln（x+a）+b}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x+a}-ln（x+a）-b}{{e}^{x}}$，
∵f′（1）=$\frac{1-b}{e}$，
∴a=0，
∴f（x）=$\frac{lnx+b}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-b}{{e}^{x}}$，
当b≥1时，f′（x）=0，即$\frac{1}{x}$-lnx-b=0，
∴$\frac{1}{x}$-lnx=b≥1，
∴$\frac{1}{x}$≥lnx+1，
∵x∈（0，1]，
∵y=$\frac{1}{x}$在x∈（0，1]时单调递减，y=lnx+1在x∈（0，1]时单调递增，
且x=1时，$\frac{1}{x}$=lnx+1，
∴当b≥1时，f′（x）=0在x∈（0，1]上是有解；
（2）当b=1时，对任意x＞0，要证（x+1）•f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{x}$恒成立．
只需证：（x²+x）f′（x）＜e^-2+1即可．
令g（x）=（x²+x）f′（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$（1-x-xlnx），
∴对任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等价于1-x-xlnx＜$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（e^-2+1），
令h（x）=1-x-xlnx，
得h′（x）=-lnx-2，
∴当x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
∴h（x）的最大值为h（e^-2）=e^-2+1，
故 1-x-xlnx≤e^-2+1，
设φ（x）=e^x-（x+1），
∵φ′（x）=e^x-1，
∴x∈（0，+∞）时，φ（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，
故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e^x-（x+1）＞0，
即$\frac{{e}^{x}}{x+1}$＞1，
∴1-x-xlnx≤$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（e^-2+1），
因此对任意x＞0，（x+1）•f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{x}$恒成立．

点评 本题考查导数的求解，分离常数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为等价问题，是常见的函数解题思想．