Question

13．已知五边形ABECD有一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，且AB=2BC=2CD，将梯形ABCD沿着BC折起，形成如图2所示的几何体，且AB⊥平面BEC．
（1）求证：平面ABE⊥平面ADE；
（2）求二面角A-DE-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延长AD，BC相交于F，连接EF，证明EF⊥面ABE，即可证明平面ABE⊥平面ADE；
（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角A-DE-B的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵直角梯形ABCD中AB=2CD，
∴延长AD，BC相交于F，
则CF=BC，
连接EF，
∵三角形BCE为等边三角形，∴△BEF是直角三角形，
则BE⊥EF，
∵AB⊥平面BEC．EF?平面BEC．
∴AB⊥EF．
∵BE∩AB=B，
∴EF⊥面ABE，
∵EF?面ADF，
∴平面ABE⊥平面ADE；
（2）由（1）知EF⊥面ABE，
则EF⊥AE，
则∠AEB是二面角A-DE-B的平面角，
∵BC=CD=BE，AB=2CE
∴设CD=1，则BE=1，AB=2，AE=$\sqrt{5}$，
则cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即二面角A-DE-B的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的证明以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．