Question

1．已知过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系，求出a，b的值即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，根据求出D、E的坐标，根据$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$求出G的坐标，代入椭圆即可求出直线斜率和方程，利用点到直线的距离以及弦长公式即可求四边形ODGE的面积．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角三角形，
∴b=c，即a=$\sqrt{2}$b，
即$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即b²=$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²，
∵点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
∴b²=$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{2}$+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，
则a²=2b²=2，
即椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）∵b=c=1，∴椭圆C右焦点F（1，0），
的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$（O为坐标原点），
设x=ky+1，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1得$\frac{（ky+1）^{2}}{2}$+y²=1
即（k²+2）y²+2ky-1=0，
则y₁=$\frac{-k+\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，y₂=$\frac{-k-\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，
则x₁=ky₁+1=$\frac{2+k\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，
x₂=ky₂+1=$\frac{2-k\sqrt{2{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2}$，
则x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}+2}$，y₁+y₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$，
设G（x，y），
则由$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{EG}$得$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\frac{4}{{k}^{2}+2}$，$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$），
G在椭圆上，代入椭圆得则$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}+2}$）²+（$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$）²=1，
即$\frac{4（{k}^{2}+2）}{（{k}^{2}+2）^{2}}=1$，即$\frac{4}{{k}^{2}+2}$=1，即k²+2=4，即k²=2，得k=$\sqrt{2}$（舍掉-$\sqrt{2}$）．
在直线方程为x=$\sqrt{2}$y+1，
原点到直线x-$\sqrt{2}$y-1=0的距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
而DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则四边形ODGE的面积S=2×$\frac{1}{2}×$$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质，根据条件，利用待定系数法求出直线方程是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．