Question

2．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，M是边BC上靠近C的一个四等分点，若N是BC边上的动点，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|得$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，建立平面直角坐标系，设N坐标，求出$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{AM}$的坐标，根据x的范围求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴AB=$\sqrt{2}$．
以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），C（1，0），B（0，$\sqrt{2}$），
∵M是边BC上靠近C的一个四等分点，∴M（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
直线BC方程为x+$\frac{y}{\sqrt{2}}$=1，即$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0．
设N（x，$\sqrt{2}-\sqrt{2}x$），则0≤x≤1，
则$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow{AN}$=（x，$\sqrt{2}-\sqrt{2}x$）．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{3x}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{x}{2}$=$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{2}$．
∵0≤x≤1，∴$\frac{1}{2}$≤$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤$\frac{3}{4}$．
故答案为[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系使用坐标计算是常用方法．