Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a＞0），且4a₃是a₁与2a₂的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由4a₃是a₁与2a₂的等差中项，可得2×4a₃=a₁+2a₂．利用S_n=a（S_n-a_n+1），分别取n=1，2，3，可得a₁，a₂，a₃，代入解得a．再利用递推关系即可得出a_n．
（2）b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$=（2n+1）•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵4a₃是a₁与2a₂的等差中项，∴2×4a₃=a₁+2a₂．
∵S_n=a（S_n-a_n+1），∴a₁=a（a₁-a₁+1），a₁+a₂=a（a₁+a₂-a₂+1），a₁+a₂+a₃=a（a₁+a₂+a₃-a₃+1），
解得a₁=a，a₂=a²，a₃=a³，
∴8a³=a+2a²，a＞0，
化为8a²-2a-1=0，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴S_n=$\frac{1}{2}$（S_n-a_n+1），
化为S_n=1-a_n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-（1-a_n-1），
化为$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$=（2n+1）•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2-（1-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．