Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2c-a）cosB=bcosA，ac=b，则△ABC面积的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理结合已知可得B=60°，再由余弦定理结合ac=b求出ac的最小值，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC，
故sinC（2cosB-1）=0，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，则B=60°，
由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
且ac=b，得（ac）²=（a+c）²-3ac，
即（ac）²≥ac，得ac≥1．
∴△ABC面积的最小值为S=$\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×1×sin60°=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．