Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点．那么异面直线OE和FD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出异面直线所成的夹角．

解答 解：如图所示
不妨设AB=2，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），O（1，1，0），E（0，2，1），F（1，0，0）．
∴$\overrightarrow{OE}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{F{D}_{1}}$=（-1，0，2）．
∴$cos＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{F{D}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{F{D}_{1}}}{|\overrightarrow{OE}||\overrightarrow{F{D}_{1}}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴异面直线OE和FD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．