Question

14．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N^*，则b₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N^*，可得b₁=1-a₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-{b}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$．求出b₂，b₃，b₄，…，猜想：b_n=$\frac{n}{n+1}$，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N^*，
∴b₁=1-a₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-{b}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$．
∴b₂=$\frac{2}{3}$，b₃=$\frac{3}{4}$，b₄=$\frac{4}{5}$，…，
猜想：b_n=$\frac{n}{n+1}$，
经过验证：b_n+1=$\frac{n+1}{n+2}$成立．
则b₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了递推关系、猜想与证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．