Question

3．已知A，B是椭圆3x²+y²=m（m＞0）上不同两点，线段AB的中点为N（1，3）．则m的取值范围为（12，+∞），AB所在的直线方程为y=-x+4．

Answer 1

分析 由题意可得N在椭圆内，代入椭圆方程解不等式可得m的范围；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用点差法和中点坐标公式，以及斜率公式，结合直线的点斜式方程，可得直线AB的方程．

解答 解：由题意可得N（1，3）在椭圆内，
可得3+3²＜m，即有m＞12；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得3x₁²+y₁²=m，
3x₂²+y₂²=m，
相减可得，3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
即有AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{3（x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{3×2}{6}$=-1，
即有直线AB的方程为y-3=-（x-1），即为y=-x+4．
故答案为：（12，+∞），y=-x+4．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查点差法的运用，以及直线的斜率公式和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．