Question

11．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q为常数）．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{a_n}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{a_n+1-a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q为常数）．只要a_n+1-a_n=2pn+p+q为与n无关的常数即可．
（2）由（1）可得：a_n+1-a_n=2pn+p+q，是关于n的一次函数，即可证明．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q为常数）．
∴a_n+1-a_n=p（n+1）²+q（n+1）-（pn²+qn）=2pn+p+q，
当2p=0时，即p=0时，数列{a_n}是等差数列，首项为q，公差为p+q．
（2）证明：由（1）可得：a_n+1-a_n=2pn+p+q，是关于n的一次函数，
因此对任意实数p、q，数列{a_n+1-a_n}是等差数列．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其等差数列的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．