已知定义在R上的两函数f(x)=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$.g(x)=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$(其中π为圆周率.π=3.1415926-).有下列命题:①f是偶函数,②f是R上的减函数,③f(x)无最大值.最小值.g(x)有最小值.无最大值,④对任意x∈R.都有f,⑤f无零点．其中正确的命题有①③④⑤(把所有正确命题� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知定义在R上的两函数f（x）=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$（其中π为圆周率，π=3.1415926…），有下列命题：
①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；
②f（x）是R上的增函数，g（x）是R上的减函数；
③f（x）无最大值、最小值，g（x）有最小值，无最大值；
④对任意x∈R，都有f（2x）=2f（x）g（x）；
⑤f（x）有零点，g（x）无零点．
其中正确的命题有①③④⑤（把所有正确命题的序号都填上）

分析可求得f（x）+f（-x）=0，g（x）-g（-x）=0，故①正确；
易知g（x）R上不可能是减函数，故②不正确；
可判断f（x）在R上单调递增，g（x）左减右增；从而判断；
化简f（2x）=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，2f（x）g（x）=2•$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$•$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，故④成立；
易知f（0）=0，g（x）≥g（0）=1，故⑤正确．

解答解：∵f（x）+f（-x）=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$+$\frac{{π}^{-x}-{π}^{x}}{2}$=0，
g（x）-g（-x）=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$-$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=0，
∴f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，故①正确；
∵g（x）是偶函数，
∴g（x）R上不可能是减函数，故②不正确；
可判断f（x）在R上单调递增，g（x）左减右增；
故f（x）无最大值、最小值，g（x）有最小值，无最大值，
故③正确；
f（2x）=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，
2f（x）g（x）=2•$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$•$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，
故④成立；
∵f（0）=0，∴f（x）有零点，
∵g（x）≥g（0）=1，∴g（x）没有零点；
故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．

点评本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．

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