Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，且E是BC的中点，D是AC₁中点．
（1）求证：B₁C⊥平面AEC₁；
（2）求三棱锥C-AED的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AE⊥B₁C，B₁C⊥EC₁，即可证明B₁C⊥平面AEC₁；
（2）利用等体积转换，即可求三棱锥C-AED的体积．

解答 （1）证明：∵AB=AC，E是BC的中点，
∴AE⊥平面B₁C．
∵B₁C?平面B₁C，
∴AE⊥B₁C．
∵CC₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，
∴$\frac{CE}{{B}_{1}B}$=$\frac{{C}_{1}C}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△C₁CE∽△CBB₁，
∴∠B₁CB=∠CC₁E，
∴B₁C⊥EC₁，
∵EC₁∩AE=E，
∴B₁C⊥平面AEC₁；
（2）解：三棱锥C-AED的体积=$\frac{1}{2}$×三棱锥C₁-AED的体积=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．