Question

3．如图所示的几何体中，四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角D-FG-B（钝角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明AC⊥平面BCEF即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）连接CF，∵四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点，
∴DG∥BC，AC⊥CB，同理CF⊥BC，
∵平面BCEF⊥平面ABCD，AC⊥BC，平面BCEF∩平面ABCD=BC
∴AC⊥平面BCEF，
∵BF?平面BCEF，∴AC⊥BF；
（2）由（1）知CF⊥平面ABCD，
∴建立以C为坐标原点，以CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，
∴设BC=1，则AB=2，AC=CF=$\sqrt{3}$，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），F（0，0，$\sqrt{3}$），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
则$\overrightarrow{GF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{GB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
设平面DFG的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DG}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
则y=0，令x=2，则z=1，即为$\overrightarrow{m}$=（2，0，1），
设平面FGB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=\sqrt{3}z}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=1，即为$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+1}{\sqrt{{2}^{2}+1}•\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∵二面角D-FG-B是钝二面角，
∴二面角（钝角）的余弦值为-$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法求二面角是解决本题的关键．