Question

8．要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500m³，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？

Answer 1

分析 设圆柱的底面半径，高，要求用料最省即圆柱的表面积最小，由题意可得表面积的表示式，利用导数做出函数的最值，并且看出取得最值时，自变量的取值．

解答 解：欲使材料最省，即为表面积最小，设圆柱面半径为R（m），高为h（m）
则h=$\frac{500}{π{R}^{2}}$
材料的面积S=πR²+2πR×$\frac{500}{π{R}^{2}}$=πR²+$\frac{1000}{R}$（R＞0）
求导有S′=2πR-$\frac{1000}{{R}^{2}}$
令S'（R）=0得R=$\root{3}{\frac{500}{π}}$，此时h=$\root{3}{\frac{500}{π}}$，
得到函数在（0，$\root{3}{\frac{500}{π}}$）上单调递减，在（$\root{3}{\frac{500}{π}}$，+∞）上单调递增，
∴当R=h=$\root{3}{\frac{500}{π}}$，2R=2$\root{3}{\frac{500}{π}}$时，所用的材料最省．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，本题解题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，本题是一个中档题目．