Question

18．已知P：方程X²+mX+m+3=0有一正一负两根，q：不等式mX²+2X+1＞0恒成立，如果p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 P：方程X²+mX+m+3=0有一正一负两根，可得$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（m+3）＞0}\\{m+3＜0}\end{array}\right.$，解得m范围．q：不等式mX²+2X+1＞0恒成立，m=0时不满足题意，舍去；当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m范围．如果p或q为真，p且q为假，可得p与q必然一真一假即可得出．

解答 解：P：方程X²+mX+m+3=0有一正一负两根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（m+3）＞0}\\{m+3＜0}\end{array}\right.$，解得m＜-3．
q：不等式mX²+2X+1＞0恒成立，m=0时不满足题意，舍去；当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞1．
如果p或q为真，p且q为假，
∴p与q必然一真一假，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{m≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥-3}\\{m＞1}\end{array}\right.$，
解得m＜-3或m＞1．
∴m的取值范围是m＜-3或m＞1．

点评 本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．