Question

8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为36π，则此三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为（　　）

• A． $\frac{121}{25}$
• B． $\frac{81}{16}$
• C． $\frac{16}{9}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．

解答 解：如图，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为36π，得4πr²=36π，∴r=3．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，且球心O到上底面中心H的距离OH=a，
∴3²=a²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²，∴a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
则三棱柱的底面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{16}$．
∴三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为$\frac{1}{3}$×$\frac{27\sqrt{3}}{16}$×2×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{81}{16}$．
故选：B．

点评 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．