Question

19．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^x}，x≤0\\ 2sin（2x+\frac{π}{6}），0＜x＜π\end{array}$若x₁，x₂，x₃是方程f（x）+a=0三个不同的根，则x₁+x₂+x₃的范围是（　　）

• A． $（-1，\frac{π}{2}）$
• B． $（\frac{π}{3}-1，\frac{π}{3}）$
• C． $（\frac{π}{3}-1，\frac{π}{3}+1）$
• D． $（\frac{π}{6}，\frac{π}{6}+1）$

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^x}，x≤0\\ 2sin（2x+\frac{π}{6}），0＜x＜π\end{array}$的图象，从而可得-2＜a＜-1，从而结合图象解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^x}，x≤0\\ 2sin（2x+\frac{π}{6}），0＜x＜π\end{array}$的图象如下，
∵x₁，x₂，x₃是方程f（x）+a=0三个不同的根，
∴方程f（x）=-a有三个不同的根，
∴1＜-a＜2，∴-2＜a＜-1；
不妨设x₁＜x₂＜x₃，
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，∴x=$\frac{π}{6}$；
结合图象可知，
x₂+x₃=$\frac{π}{6}$×2=$\frac{π}{3}$；
∵1＜2^-x＜2，
∴-1＜x＜0，
∴-1＜x₁＜0，
∴x₁+x₂+x₃∈$（\frac{π}{3}-1，\frac{π}{3}）$．
故选：B．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．