Question

11．在棱长均为6的三棱锥纸盒内放一个小正方体，正方体可以绕某对称轴（即相对两面的中心连线）旋转，则该正方体棱长的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．

解答 解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²×$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6）^{2}}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设正方体的最大棱长为a，
∴3a²=（$\sqrt{6}$）²，
∴a=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．