Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若$\frac{b+a}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，且2sinAsinB=2sin²C，试判断△ABC形状．
（Ⅱ）若b-c=2acos（60°+C），求角A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知整理可得：b²-a²=ab，c²=ab，联立可得b²=a²+c²，由勾股定理可得三角形为直角三角形．
（Ⅱ）利用正弦定理化简已知表达式，求出A的三角方程，利用两角和的正弦函数求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{b+a}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b+a}{a}=\frac{b}{b-a}$，整理可得：b²-a²=ab，①
又∵2sinAsinB=2sin²C，
∴由正弦定理可得：c²=ab，②
∴联立①②可得：b²=a²+c²．
故由勾股定理可得三角形为直角三角形．…（6 分）
（Ⅱ）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，得：sinB-sinC=2sinA•cos（60°+C），
∵A+B+C=π，故有：sin（A+C）-sinC=sinAcosC-$\sqrt{3}$sinAsinC，
∴cosAsinC-sinC=-$\sqrt{3}$sinAsinC．  …（8 分）
又∵sinC≠0，∴cosA+$\sqrt{3}$sinA=1，…（10 分）
即sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由0＜A＜π，可解得A=$\frac{2}{3}$π． …（12 分）

点评 本题考查正弦定理，勾股定理的应用，考查了两角和的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，利用角的范围是解题的关键，属于中档题．