Question

12．已知函数f（x）满足f（1）=0，且f（x）在R上的导数满足f′（x）+1＜0，则不等式f（x²）＜-x²+1的解集为（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-1，1 ）

Answer 1

分析 根据f（x）在R上的导数满足f′（x）+1＜0，讨论导函数的正负得到函数的单调区间为，再得到不等式，解得即可．

解答 解：根据f（x）在R上的导数满足f′（x）+1＜0，讨论导函数的正负得到函数的单调区间为：
①当f′（x）+1＜0时得到函数f（x）单调递减，
即当x²＜1时，得到f（x²）＞f（1）=0即-x²+1＞0，解得x²＜1，即-1＜x＜1
②当-1＜f′（x）＜0时得到函数f（x）单调递增，
即当x²＞1时，得到f（x²）＞f（1）=0即-x²+1＞0，解得x²＜1，矛盾；
综上，不等式f（x²）＜-x²+1的解集为（-1，1），
故选：D

点评 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会利用函数的单调性解决实际问题的能力