Question

3．已知椭圆两焦点${F_1}（{-\sqrt{3}，0}），{F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，并且经过点$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点A（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N（M在A、N之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得a=2，结合a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）设l方程为y=kx+2（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，令$λ=\frac{{{S_{△OAM}}}}{{{S_{△OAN}}}}=\frac{{\frac{1}{2}|{OA}||{x_1}|}}{{\frac{1}{2}|{OA}||{x_2}|}}=\frac{{|{x_1}|}}{{|{x_2}|}}（{0＜λ＜1}）$，代入化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为椭圆的焦点在x上，
所以设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
由定义得$2a=\sqrt{{{（{1-\sqrt{3}}）}^2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{{{（{1+\sqrt{3}}）}^2}+\frac{3}{4}}=（{2-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）+（{2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）=4$，
∴a=2，b²=4-3=1，所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=kx+2（k≠0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
由△=256k²-48（1+4k²）＞0，得${k^2}＞\frac{3}{4}$；
$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$，
令$λ=\frac{{{S_{△OAM}}}}{{{S_{△OAN}}}}=\frac{{\frac{1}{2}|{OA}||{x_1}|}}{{\frac{1}{2}|{OA}||{x_2}|}}=\frac{{|{x_1}|}}{{|{x_2}|}}（{0＜λ＜1}）$，
∵x₁x₂＞0，∴x₁，x₂同号，∴$λ=\frac{x_1}{x_2}$∴x₁=λx₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}（{1+λ}）{x_2}=\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}\\ λ{x_2}^2=\frac{12}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{{{（{1+λ}）}^2}{x_2}^2}}{{λ{x_2}^2}}=\frac{{{{（{\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}}）}^2}}}{{\frac{12}{{1+4{k^2}}}}}=\frac{{\frac{{64{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}}{3}=\frac{{64{k^2}}}{{3（{1+4{k^2}}）}}$
∴$\frac{{{{（{1+λ}）}^2}}}{λ}=\frac{{64{k^2}}}{{3（{1+4{k^2}}）}}=\frac{{16（{1+4{k^2}-1}）}}{{3（{1+4{k^2}}）}}=\frac{16}{3}（{1-\frac{1}{{1+4{k^2}}}}）$
∵${k^2}＞\frac{3}{4}$∴$4＜\frac{{{{（{1+λ}）}^2}}}{λ}＜\frac{16}{3}$，解得$\frac{1}{3}＜λ＜3$，
∵0＜λ＜1∴$\frac{1}{3}＜λ＜1$，
所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是$（{\frac{1}{3}，1}）$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用定义法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．