Question

7．如图所示，AE，DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，且AD=BC，圆柱的高为2，底面半径为$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求证：平面AEB∥平面DFC
（Ⅱ）求证：BC⊥AB
（Ⅲ）求四棱锥E-ABCD体积最大时AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆柱的上下底面平行，利用面面平行与线面平行的性质证出AD∥BC，结合AD=BC得四边形ABCD是平行四边形，从而AB∥CD，由线面平行的判定证出AB∥平面DFC，同理得出AE∥平面DFC，最后根据面面平行判定定理，即可得到平面AEB∥平面DFC；
（Ⅱ）由（I）得四边形BCFE为平行四边形，结合圆内接四边形的性质，得到四边形BCFE为矩形，得到BC⊥BE，而AE⊥平面BCFE，得AE⊥BC，根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ABE，从而证出BC⊥AB；
（Ⅲ）由锥体的体积公式，得V_E-ABCD=2V_E-ABC=2V_A-BCE，而V_A-BCE=$\frac{1}{3}$S_△BCE×AE=$\frac{2}{3}$S_△BCE，在底面圆中研究内接△BCE的面积，可得当且仅当BE=BC=$\sqrt{6}$时面积有最大值，由此即可算出四棱锥E-ABCD体积的最大值．

解答 （Ⅰ）证明：由圆柱的性质，可得：AD∥平面BCFE
又∵过AD作圆柱的截面交下底面于BC．∴AD∥BC，
∵AD=BC，可得四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD
∵AB?平面DFC，CD?平面DFC，∴AB∥平面DFC，
由平行四边形ADFE中AE∥DF，同理可得AE∥平面DFC，
∵AE、AB是平面AEB内的相交直线，∴平面AEB∥平面DFC；
（Ⅱ）证明：由（I）得BC平行且等于EF，∴四边形BCFE为平行四边形
又∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴四边形BCFE为矩形，可得BC⊥BE，
又∵圆柱的母线AE⊥平面BCFE，BC?平面BCFE，∴AE⊥BC，
∵BE、AE是平面ABE内两条相交直线，∴BC⊥平面ABE
结合AB?平面ABE，可得BC⊥AB；
（Ⅲ）解：由锥体的体积公式，可得
四棱锥E-ABCD体积V_E-ABCD=2V_E-ABC=2V_A-BCE，
∵AE⊥平面BCFE，∴AE=2为三棱锥A-BCE的高，
可得V_A-BCE=$\frac{1}{3}$S_△BCE×AE=$\frac{2}{3}$S_△BCE
∵底面半径r=$\sqrt{3}$，四边形BCFE为矩形
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_BCFE≤r²=3，可得V_A-BCE≤$\frac{2}{3}$×3=2
因此四棱锥E-ABCD体积V_E-ABCD=2V_A-BCE≤4，当且仅当BE=BC=$\sqrt{6}$时等号成立
∴四棱锥E-ABCD体积的最大值为4．

点评 本题着重考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、锥体的体积公式及其推论和圆内接三角形面积的最值求法等知识，属于中档题．