Question

6．已知椭圆线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，如图所示，A（a，0），B（0，-b）原点到直线AB的距离为$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆周上，求k．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率得到a，b的关系，再由原点到直线AB的距离为$\frac{4}{\sqrt{5}}$得a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出EF的中点的坐标，由E，F都在以B为圆心的圆周上，可得k•k_BP=-1，由此列式求得k值．

解答 解：（1）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴3a²=4c²，
又c²=a²-b²，∴a²=4b²，
根据题意，在Rt△OAB中，可得$ab=\frac{4}{\sqrt{5}}•\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
又a²=4b²，可得a=4，b=2，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kx-12=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-12}{1+4{k}^{2}}$，
设EF的中点为P（x₀，y₀），则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
${y}_{0}=k{x}_{0}+1=k•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}+1=\frac{1}{1+4{k}^{2}}$，
即P（$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1}{1+4{k}^{2}}$），
∵E，F都在以B为圆心的圆周上，∴k•k_BP=-1，
即$k•\frac{\frac{1}{1+4{k}^{2}}+2}{\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}-0}=-1$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查两直线垂直与直线斜率的关系，是中档题．