Question

10．设直线y=kx与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（　　）

• A． ±1
• B． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $±\frac{1}{2}$
• D． $±\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 将直线方程与椭圆方程联立，得（1+2k²）x²=2．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（1+2k²）x²=2的两个根为±1，代入求出k的值．

解答 解：将直线与椭圆方程联立，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
化简整理得（1+2k²）x²=2（*）
因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，
故方程的两个根为±1．代入方程（*），
得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与椭圆的交点问题，方法是将直线与椭圆方程联立来求解，此方法是圆锥曲线中的重要思想方法．