Question

20．设命题p：关于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+m=0没有实数根，
命题q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0恒成立，如果命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：关于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+m=0没有实数根，则$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（m-1）^{2}-4{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得m范围．命题q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0恒成立，△＜0，解得m范围．利用命题“p∧q”是真命题，即可得出．

解答 解：命题p：关于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+m=0没有实数根，则$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（m-1）^{2}-4{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$m＞\frac{1}{3}$或m＜-1．
命题q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0恒成立，△=m²-8×$（-\frac{3}{8}m）$＜0，解得-3＜m＜0．
如果命题“p∧q”是真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{3}或m＜-1}\\{-3＜m＜0}\end{array}\right.$，
解得-3＜m＜-1．
∴实数m的取值范围是（-3，-1）．

点评 本题考查了一元二次方程及其一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．