Question

3．若函数y=e^x与函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1的图象有三个不同交点，则实数m的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数与方程之间的关系利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数和极限进行求解即可得到结论．

解答 解：由y=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1=e^x得$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1-e^x=0，
设f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1-e^x，则条件等价为函数f（x）有三个不同的零点，
即mx=-$\frac{1}{2}{x^2}$-1+e^x，
当x=0时，方程成立，即x=0是函数的一个零点，
要使f（x）有三个不同的零点，
则等价为当x≠0时，函数f（x）有两个不同的零点，
当x≠0时，方程等价为m=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$+$\frac{{e}^{x}}{x}$=$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}}{x}$，
设h（x）=$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}}{x}$，
则函数的导数h′（x）=$\frac{（-x+{e}^{x}）x-（-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}）}{{x}^{2}}$=$\frac{x{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
设g（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-e^x+1，g′（x）=x（e^x-1），
当x＞0时，e^x＞1，则g′（x）=x（e^x-1）＞0，
当x＜0时，e^x＜1，则g′（x）=x（e^x-1）＞0，
综上当x≠0时，g′（x）＞0，
当x=0时，g′（x）=x（e^x-1）=0，
综上，g′（x）≥0，即g（x）为增函数，
∵g（0）=-e⁰+1=1-1=0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，
即当x＞0，h′（x）＞0当x＜0时，h′（x）＜0，
则当x→0时h（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{-x+{e}^{x}}{1}$=$\underset{lim}{x→0}$（-x+e^x）=1，
即当x≠0时，h（x）＞1，
∴要使当x≠0时，函数f（x）有两个不同的零点，
则m＞1，
故答案为：（1，+∞）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及构造法，利用求函数的导数和求极限是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．