Question

12．已知椭圆C：x²+4y²=4，直线$y=\frac{1}{2}x+b$与椭圆C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标；
（Ⅱ）求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若b=1，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a，b，c，即可得到所求焦点；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，再由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅲ）若b=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆方程x²+4y²=4得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
可知 a²=4，b²=1，c²=3，
所以椭圆C的焦点坐标$（-\sqrt{3}，0），（\sqrt{3}，0）$；
（Ⅱ）直线方程与椭圆C的方程联立，得方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+b\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，
消y，整理得x²+2bx+2b²-2=0，①，
由直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则有△=4b²-4（2b²-2）＞0，
解得$-\sqrt{2}＜b＜\sqrt{2}$；
（Ⅲ）若b=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅱ）中的①式得x₁+x₂=-2，x₁x₂=0，且k=$\frac{1}{2}$，
可得弦长$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆方程及运用，考查直线和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，考查运算能力，属于基础题．